Blog de Mecânica Geral - 2011.1
Aula 29 - seg. 30/5
Hoje eu resolvi a prova no quadro e dei vista de prova. Depois discutimos um pouco a natureza dos vínculos e como eles afetam o uso das equações de Lagrange.
- Exemplo de vínculo: pêndulo.
- Coordenadas generalizadas. Exemplos: pêndulo duplo, pêndulo em vagão em movimento.
- graus de liberdade e sistemas holonômicos. Exemplo de sistema não-holonômico: uma bola de borracha rolando no plano com um ponto identificado na sua superfície.
Refs.: Taylor seção 7.2.
O monitor Daniel mudou o seu horário de atendimento às quartas, será de 14-16h (ao invés de 16-18h). Para relembrar, eu dou atendimento na sala A1-08 às segundas de 14-16h, e o Daniel na sala A2-01 às quartas e sextas de 14 a 16h.
Aula 28 - sex. 27/5
Na quarta-feira passada tivemos nossa P2. Na aula desta sexta começamos o capítulo 7 do Taylor, que trata da mecânica Lagrangeana.
- partícula sem vínculos. Mostramos que a 2a Lei de Newton é equivalente a duas equações de Euler-Lagrange. Isso nos levou ao Princípio de Hamilton: o caminho seguido pela partícula e tal que torna estacionária a integral da Lagrangeana T-U.
- As equações de Lagrange são equações de Euler-Lagrange com a Lagrangeana como integrando da integral que queremos que seja estacionária. Força generalizada, momento generalizado.
- Exemplo: movimento de uma partícula usando coordenadas polares. Vimos que achamos de maneira fácil a equação para a aceleração radial (que obtivemos no capítulo 1). A 2a equação de Lagrange é a familiar torque = derivada temporal de L.
Refs.: Taylor seção 7.1.
Aula 27 - sex. 20/5
Hoje terminamos o capítulo 6 do Taylor, uma introdução sobre cálculo variacional.
- a geodésica sobre uma esfera (problemas 6.1 e 6.16 do Taylor). Vimos que as eq. de Euler-Lagrange nos dão caminhos para os quais a integral em questão é estacionária, e não necessariamente mínima ou máxima. No caso da geodésica na esfera, o resultado são caminhos sobre um grande círculo, mas nada nos diz se é o caminho efetivamente mais curto, ou um mais longo dando a volta pelo outro lado.
- Equações de Euler-Lagrange para mais de duas variáveis: parametrizando a curva, vemos que ao invés de uma equação de EL teremos várias, uma para cada variável independente. Exemplo: resolvendo novamente o caminho mais curto entre dois pontos no plano.
- Fizemos mais alguns problemas: problema 6.6 (comprimento de caminho no plano em coord. polares, sobre o cilindro); 6.12 (achando uma curva que torna certa integral estacionária); 6.7 (caminho mais curto sobre cilindro). Também comentei sobre algumas questões de listas recentes: problema 5.18 (duas molas, movimento no plano); 4.53 (energia em colisão de elétron com átomo de Hidrogênio).
Refs.: Taylor seções 6.3, 6.4. Não teremos aula na segunda-feira, 23/5. Ao invés, estarei na minha sala à tarde (entre 14 e 17h30), à disposição para tirar dúvidas. Bom estudo, na quarta-feira temos a nossa P2!
Aula 26 - qua. 18/5
Hoje continuamos estudando a técnica básica do cálculo variacional, que nos será útil para a formulação Lagrangeana da mecânica.
- Vimos que os dois exemplos de problemas de minimização que vimos (menor caminho entre dois pontos; caminho que a luz percorre em menos tempo) são casos específicos de um problema mais geral, de encontrar um caminho que minimiza uma integral.
- Hoje trabalhamos esse problema genérico, e obtivemos uma equação que deve ser satisfeita pelo caminho
que minimiza a integral. Essa é a equação de Euler-Lagrange. - Aplicações da equação de EL: caminho mais curto entre dois pontos; a braquistócrona. Para propriedades interessantes da braquistócrona, vejam os problemas 6.14 e 6.25 do Taylor.
Refs. : Taylor seções 6.2 e 6.3. Nesta sexta-feira teremos nossa última aula antes da prova. Na segunda-feira não darei aula, mas estarei à tarde na minha sala para tirar dúvidas que vocês possam ter. Não teremos lista para a última aula do capítulo 5 e o capítulo 6. Alguns problemas recomendados:
Do capítulo 5 do Taylor: 5.33, 5.35 (revisão de números complexos), 5.42, 5.43.
Capítulo 6 do Taylor: 6.1, 6.2, 6.3, 6.5, 6.6, 6.11, 6.14, 6.16, 6.17, 6.19, 6.20, 6.27.
Aula 25- Exercícios - seg. 16/5
Na aula de hoje, resolvi os exercícios 1, 2, 3, e 6 (parcialmente) da lista em anexo, além de discutir alguns dos principais erros recorrentes nas listas de exercícios entregues. É recomendável que vocês tentem reproduzir as deduções dos exercícios resolvidos, abrindo e compreendendo as passagens matemáticas, assim como tentar resolver os números 4 e 5.
Obs: A monitoria da próxima quarta feira será, excepcionalmente, de 14hs às 16hs.
